实变函数论第7章：若每个A_i（i=1,2,…,n）均为可数集，则它们的并亦为可数集。

定理2

对于可数集合而言，其所有无限子集均属于可数集合范畴，因此该集合的任意子集要么是有限集合，要么是可数集合。

定理3

设 A 为一个可数集合，而 B 则为有限或者可数的集合，那么 A \cup B 也将是一个可数集合。

定理3-推论

设 A _ { i } ( i = 1 , 2 , \cdots , n ) 表示有限集合或可数集合，那么\bigcup _ { i = 1 } ^ { n } A _ { i } 也将表现为有限集合或可数集合。然而，若其中至少存在一个 A _ { i } 属于可数集合类别，则\bigcup _ { i = 1 } ^ { n } A _ { i } 必定属于可数集合范畴。

定理4

设 A _ { i } ( i = 1 , 2 , 3 , \cdots ) 均为可数集合，则\bigcup _ { i = 1 } ^ { ∞ } A _ { i } 同样属于可数集合范畴。

证明
(1)首先假设 A _ { i } \cap A _ { j } = \varnothing ( i \neq j ) .

由于每个 A _ { i } 均具备可数性，因此可以设定

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