(正交曲线坐标系中的分离变量)

正交曲线坐标系中的分离变量

本部分内容阐述了在柱坐标系与球坐标系中，亥姆霍兹方程如何实现变量分离。通过该过程，自然引出了诸如勒让德函数、贝塞尔函数以及球谐函数等在数理方程中广泛应用的特殊函数。建议读者可先大致浏览，以了解相关推导步骤，待对这些特殊函数有充分理解后，再回过头来深入回顾与思考。

柱坐标系中亥姆霍兹方程的解析

【柱坐标系下\left\{\begin{array}{l}\nabla^2u+\lambda u=0\\ u=R(\rho)\Phi(\varphi)Z(z)\end{array}\right.

在数学物理方程相关介绍中我们讨论过，亥姆霍兹方程中的常数\lambda与时间有关。

将柱坐标系中\nabla^2 u的表达式代入后可得
$\frac{1}{\rho R} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \rho}\left(\rho \frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{~d} \rho}\right)+\frac{1}{\rho^{2}}\left(\frac{1}{ \Phi} \frac{\mathrm{d}^{2} \Phi}{\mathrm{d} \varphi^{2}}\right)+\lambda=-\frac{1}{Z} \frac{\mathrm