向量空间及其子空间、基与维数

索引

• 集合: V
  • 线性空间\left( V,\oplus ,\otimes \right)
  • 线性子空间\left( W,\oplus ,\otimes \right) (W\subseteq V)
  • 基底与维度
  • 若干例题

集合: V

初步界定
1895年，G.Cantor提出了如下定义：“集合指的是在我们的感知或思维中，由若干明确且彼此区分的对象所组成的整体，这些对象即为该集合的成员。”
通常而言，若将P视为某一或某些条件的聚合体，并以P(u):=表示元素u具备属性P，那么集合V可被表述为
V=\left\{ x:P\left( x \right) \right\}

特征

1. 确定性：对于任意元素x，其要么属于集合V，要么不属于集合V，二者必居其一。
2. 互异性：在同一个集合内部，所有成员之间均具有差异性。
3. 无序性：即便对集合中的元素排列顺序进行任意调整，其所代表的集合本身并不会发生变化。

线性空间\left( V,\oplus ,\otimes \right)

定义
线性空间指的是在域\left( \mathbb{F},+,\times \right)上定义的一个集合V