判断N数码是否可解的牛人总结及归并排序

作者:力的博客

先介绍八数码问题：

我们首先从经典的八数码问题入手，即对于八数码问题的任意一个排列是否有解？有解的条件是什么？

我在网上搜了半天，找到一个十分简洁的结论。八数码问题原始状态如下：

1 2 3
4 5 6
7 8

为了方便讨论，我们把它写成一维的形式，并以0代替空格位置。那么表示如下：

1 2 3 4 5 6 7 8 0

通过实验得知，以下状态是无解的（交换了前两个数字1 2）：

2 1 3 4 5 6 7 8 0

八数码问题的有解无解的结论：

一个状态表示成一维的形式，求出除0之外所有数字的逆序数之和，也就是每个数字前面比它大的数字的个数的和，称为这个状态的逆序。

若两个状态的逆序奇偶性相同，则可相互到达，否则不可相互到达。

由于原始状态的逆序为0（偶数），则逆序为偶数的状态有解。

也就是说，逆序的奇偶将所有的状态分为了两个等价类，同一个等价类中的状态都可相互到达。

简要说明一下：当左右移动空格时，逆序不变。当上下移动空格时，相当于将一个数字向前（或向后）移动两格，跳过的这两个数字要么都比它大（小），逆序可能±2；要么一个较大一个较小，逆序不变。所以可得结论：只要是相互可达的两个状态，它们的逆序奇偶性相同。我想半天只能说明这个结论的必要性，详细的证明请参考后面的附件。

推广二维N×N的棋盘

我们先来看看4×4的情况，同样的思