无监督：降维

1.前言

当输入样本x的维度上升时，无论采用何种机器学习算法，其训练所需的时间都将随之增长，学习过程也会变得更为复杂。例如，在一维空间中的{0,1}区间内存在5个训练样本的情况下，若在d维空间中以相同密度布置相同类型的训练样本，则最终的样本数量将增加至5^d个。如图所示：

一个用于描述高维空间的实例。当维度d数值较大的时候，获取并处理数量高达5^d的训练样本将变得极为艰难。

正因如此，在高维空间中，训练样本通常以稀疏的方式进行设置。

例如，当维度d=10时，总的样本数量已经达到了5^10（≈10000000）的数量级。如此庞大的样本规模，使得数据的采集与计算过程变得异常复杂和困难。因此，在高维空间中，人们往往选择以稀疏的形式来安排训练样本。

此外，相较于低维空间而言，高维空间在直观理解上存在更大的挑战性，难以形成清晰的认知印象。

总体而言，处理高维数据的过程存在诸多难题，这种现象通常被称为“维度灾难”。为了解决这一问题，并使机器学习算法摆脱其影响，常用的有效手段是保留输入数