机器学习的基函数与函数空间

引言

在线性回归模型的学习过程中，基函数是一个常见的概念，我们可能会接触到多项式基函数、高斯型基函数以及sigmoid基函数等。此外，在高等数学和信号系统课程中，傅里叶基也经常被提及。有时不禁会思考，这些基函数为何要以这样的形式进行设计？它们在其中究竟起到什么作用？
随后了解到，基函数是核方法和字典训练的重要基础，由此我逐步形成了关于特征转换与映射、字典元素的一些初步认识。然而，对于基函数与函数空间之间的关系以及其更深层次的含义，仍然存在一定的模糊之处。希望通过本文的探讨，能够进一步厘清这些问题。

基函数

在数学领域中，基函数指的是构成函数空间特定基集的组成部分。函数空间中所有的连续函数均可被表述为一组基函数的线性叠加形式，这一特性与向量空间中任意向量均可表示为基向量线性组合的情形相类似。
在数值分析以及近似理论的相关研究中，基函数也被称为混合函数（blending function），其主要应用体现在插值（interpolation）过程中。
举例说明如下：
多项式基：集合{1，t, t^{2}构成了实系数二次多项式集合的一组基础元素，任何具有a+bt+ct}2形式的二次多项式均可以表示为由1、t、t^2这三个基本元素所组成的线性组合。此外，{(t-1)(t-2)/2, -t(t-2), t(t-1)/2}同样属于二次多项式的另一组