(x sin x)/(1 + cos² x)从0到π的定积分

目录

• 需要计算的不定积分
  • 解题步骤
  • 解题思路

定积分求解方法

\int_{0}^{\pi }{\frac{x\sin x}{1+{{\cos }^{2}}x}dx}.

求解过程分析

【令x=\pi -t，即
\begin{aligned} & \phantom{jjj} \int_{0}^{\pi }{\frac{x\sin x}{1+{ {\cos }^{2}}x}dx} \\ & =\int_{\pi }^{0}{\frac{\left( \pi -t \right)\sin \left( \pi -t \right)}{1+{ {\cos }^{2}}\left( \pi -t \right)}d\left( \pi -t \right)} \\ & =\int_{0}^{\pi }{\frac{\left( \pi -t \right)\sin t}{1+{ {\cos }^{2}}t}dt} \\ & =\pi \int_{0}^{\pi }{\frac{\sin t}{1+{ {\cos }^{2}}t}dt}-\int_{0}^{\pi }{\frac{t\sin t}{1+{ {\cos }^{2}}t}dt} \\ \end{aligned}
对上述表达式进行整理，合并相似项后可