泛函分析基础7.1.4：度量空间中子space的complete性等价于该subspace在原metric space中being closed.

阅读量：

令度量空间为 $X=(X,d)$ , 并称点列为 $\{x_n\}$ . 如果对于任意给定的正数 ε>0, 存在依赖于 ε 的正整数 N=N(ε), 使得当 n,m>N 时必定满足

$d \left( x _ { n } , x _ { m } \right) < \varepsilon ,$

则称 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 是 $X$ 中的柯西点列 或基本点列 。

如果一个度量空间 $(X, d)$ 中的每一个柯西点列都在其内部收敛于该空间中的某一点，则称该度量空间为完备度量空间。

注意：这里要求在 $X$ 中存在一点，使该柯西点列收敛到这一点。

完备度量空间 $X$ 的子空间 $M$ 是完备空间的充要条件为 $M$ 是 $X$ 中的闭子空间。

令 $M$ 为完备子空间，则对于每一个 $x \in \bar{M}$ , 存在一个 $M$ 中的序列 $\{x_n\}$ , 使得当 $n \rightarrow +\infty$ 时, $x_n$ 趋近于 $x$ 。

根据前面所述，在度量空间中考虑如下情况：给定一个柯西序列{x_n}⊂空间 $M$ , 并假设该序列在其中收敛，则根据极限的唯一性可知其极限元素必然位于该空间内；由此可推导出 $\bar{M} \subseteq M$ , 进

全部评论 (0)

还没有任何评论哟~