《实变函数简明教程》第16题（从依测度收敛可得其自身；从几乎处处小于可得其自身）。

依测度收敛与几乎处处小于的推导关系

• 标题：P78,16
  • 答案

题目：P78,16

1. 假设函数序列\left\{ {{f}_{k}}\left( x \right) \right\}在集合E上按照测度趋于f\left( x \right)，请证明绝对值函数序列\left\{ \left| {{f}_{k}}\left( x \right) \right| \right\}同样在E上按照测度趋于\left| f\left( x \right) \right|。
2. 若进一步满足{{f}_{k}}\left( x \right)\le g\left( x \right)（对所有k=1,2,\cdots成立），几乎处处在E上成立，请证明极限函数f\left( x \right)\le g\left( x \right)几乎处处在E上成立。

解答

首先，依据\left\{ {{f}_{k}}\left( x \right) \right\}在E上依测度收敛于f\left( x \right)这一条件，结合教材P69中定义3.3的相关内容，可得出以下结论：

函数f\left( x \right)，{{f}_{k}}\left( x \right)\le