《实变函数简明教程》第5题：判断函数可测性

《实变函数简明教程》，P78，第5题（判断函数可测性）

• 题目：P78，5
  • 解答

题目定位与编号解析

已知函数f在集合E内被定义，且{{\left| f \right|}^{2}}在该集合上具备可测性，那么能否推断出f在E上也是可测的？此外，若进一步得知满足f>0的集合E\left( f>0 \right)具有可测性，则是否可以确认f的可测性？

解答

不一定。以下提供一个反例进行说明。
根据课本P55中的定理2.9，对于任意的n，在{{\mathbb{R}}^{n}}中都存在不可测集合。同时我们注意到，全集{{\mathbb{R}}^{n}}本身是一个可测集合，其测度为m{{\mathbb{R}}^{n}}=\infty。假设在{{\mathbb{R}}^{n}}中存在这样一个不可测集合，记作{{E}_{0}}，并在{{\mathbb{R}}^{n}}上定义函数f\left( x \right)如下：
$f\left( x \right)=\left{ \begin{aligned} & 1,\text{ }x\in { {E}_{0}}, \ & -1,\text{ }x\in { {\mathbb{R}}^{n}}\backslash { {