MIT 线性代数 07 求解 Ax=O 主变量 特 解

MIT 公开课：Gilbert Strang《线性代数》课程笔记（汇总）

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Lecture 7: Solving Ax = 0: pivot variables, special solutions
课程 7：求解Ax=0：主变量、特解

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本部分内容的核心在于探讨如何求解：Ax=0.

以

为例，对方阵 A 进行消元操作（此过程不会影响 的零空间，但会对 的列空间产生变化）后得到如下形式：

其中， 1, 2 被视为主元（即每一非零行中第一个非零元素），而 1,2 所在的列，即第一列与第三列被定义为主元列，其余第二列与第四列为自由列。主元的数量对应于矩阵的秩，即 \text{rank} A = 2.

令 x= (x_1, x_2, x_3, x_4)^T，则 x_1, x_3 被定义为主变量，而 x_2, x_4 被称为自由变量。自由变量的数量等于未知数总数减去主元数量（亦即矩阵的秩），若矩阵为 m \times n 维，则自由变量数量为 n - \text{rank} A.

由于消元过程不改变方程组的解集结构，因此求解 Ax= 0 可转化为对简化后的方程组 Ux =0 的求解。

通过分别设定自由变量 $(x_2, x_4) = (1,