代数结构（V2）

文章结构概览

• 群
  • • 阿贝尔群
    • 半群
    • 独异点

  • 域

  • 环

  • • 理想
    • 主理想

  • 向量空间

  • • 模

  • 代数

  • 参考资料

群

群作为代数结构中最基础的形式，其概念源于Galois在研究方程根的对称特性时所提出的理论。事实上，“代数”这一术语本身便蕴含着求解方程的含义。

一个群指的是一个集合G，其上定义了一个二元运算\cdot \colon G \times G \to G，并且该集合满足以下四个基本性质：封闭性、结合性、存在单位元以及每一个元素都具有对应的逆元。

1. 封闭性一般是在定义二元运算时隐含其中的。
2. 结合性则通常被视为自然成立的条件。

阿贝尔群

当群结构中的二元运算同时具备交换律特性时，此类群可被定义为交换群，亦称为阿贝尔群（abelian group）。

半群

当对群的约束条件进行适当放松，不再强制要求其包含单位元与逆元时，所形成的代数结构即为半群（semi-group）。

独异点

具备单位元的半群被定义为幺半群，亦被称为独异点(monoid)。

域

在集合F中定义两种运算，分别称为“加法”与“乘法”。若该集合满足以下性质：