Solving Ax = b: Consistency and Solution Structure.

对于线性方程组Ax=b来说，在我们已经了解其基本性质的前提下，则可以通过消元法来计算其解法步骤。具体而言，在现有系数矩阵A以及对应的常量向量b的情况下

为了使方程有解, b必须满足哪些条件？即当向量b位于矩阵A的列空间C(A)中时, 方程Ax = b才具有解（solvability）。除了从列空间的角度考虑, 我们还可以采用另一种方法来描述方程是否有解：具体来说, 如果在对矩阵A进行高斯消元操作后某行变为全零的情况下, 那么对应的向量b经过运算后应得到零向量; 如果结果不是零向量, 则表明这样的b无法由矩阵A的各列线性组合表示, 因此方程无解。例如前面所述的例子中, 必须满足b₃ - b₂ - b₁等于零才能使得方程有解; 这种基于行变换的方法虽然不如从列空间角度直观, 但两者本质上是等价的关系

考虑方程组Ax = b。已知其解由特解与零空间内的特解之和构成，并可表示为x_{complete} = x_{particular} + x_{null space}。其中特解可简记为x_p（读作x particular），而特殊零空间的特解可简记为x_n（读作x null）。由于矩阵A作用于x