复变函数论第1章第2节在复平面ℂ上讨论点集的基本概念中涉及到了边界的定义具体如下：给定点α∈ℂ以及其所属的集合E⊂ℂ对于任意正实数r满足U(α,r)与E有非空交集同时U(α,r)与E的补集也有非空交集则称该点α为集合E的边界点并将其记作∂E

其中：\color{red}{E^c} 表示点集\color{red}{E}的补集

当在点 z_{0} 的任意邻域中，既存在属于集合 E 的元素，也存在不属于 E 的元素【即：对于任意正实数 r，均有 U(\alpha, r) \cap E \neq \phi 且 U(\alpha, r) \cap E^{c} \neq \phi

点集 E 中所有处于边界的点共同构成的集合，被定义为 E 的边界。通常情况下，点集 E 的边界可表示为 \color{red}{\partial E}。