数学分析(二) - 数列极限 - 数列极限概念 - 收敛与极限：根据ε−N定义：设常数为 a，则对于任何 ε>0 都存在自然数 N 使得当 n>N 时 |an − a| < ε 成立；此时称 {an} 收敛于 a 或者说其极限为 a

若函数 f 的定义域为全体正整数集合 \mathbf{N}_{+}, 则称

f: \mathbf{N}_{+} \rightarrow \mathbf{R} \text { 或 } f(n), n \in \mathbf{N} .

表示为序列. 由于正整数集 \mathbf{N}_{+} 的元素按照从小到大的顺序排列, 因此函数值序列 f(n) 也可以表示为该有序集合的对应值。

a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, \cdots,

或简单地记为 \left\{a_{n}\right\}, 其中 a_{n} 称为该数列的通项.

关于数列极限, 先举一个我国古代有关数列的例子.

古代哲学家庄周所著述于《庄子》一书中提及一句名言："一尺之棰, 每日取其一半"。此言意指：一根长度为一尺的木条, 每天截取一半长度, 此过程可无限延续下去。

将每天截下的长度一一列举如下 (单位为尺):
第一天将\dfrac{1}{2}切除, 第二天继续从剩余部分中取出\dfrac{1}{4}, 第三天继续取出\dfrac{1}{8}, 如此类推下去, 则会形成一个无限数列

$\cfrac{1}{2}, \cfrac{1}{2^{2}}, \cdots, \cfrac{1}{2^{n}}, \cdots, \text { 或 }