母函数——经典砝码问题的最简实战应用教程+最简原理分析

砝码问题

一个1克的砝码

一个2克的砝码

一个3克的砝码

一个4克的砝码

请问可以组合出多少种不同的重量

一个1克的砝码 可以表示为 1 + x^1

一个2克的砝码 可以表示为 1 + x^2

一个3克的砝码 可以表示为 1 + x^3

一个4克的砝码 可以表示为 1 + x^4

为何采用这种表达方式呢？

因为在后续计算中，我们使用了（1 + x^1）（1 + x^2）（1 + x^3）*（1 + x^4）的形式进行处理。

接下来分析一下关于1克砝码的情况，它存在两种可能性：一种是选择它，另一种是不选择它。如果不选择它，则在乘积中自然会引入左边的“1”，对整体结果没有影响；而如果选择它，则引入的是x^1，这显然代表了该砝码被选中的情况。

那么为何x^{1能够代表选中了这个砝码呢？假设后续将x}2、x^{3等项相乘，其中x分别代表了2克和3克被选取的情况（这里假定4克未被选取），则最终乘积会得到x}(1+2+3)=x^5，这表明了一种总质量为5的情况。因此，通过将表达式拆分为“1 + x^1”的形式，我们考虑到了是否选用该砝码的所有可能性。将所有可能情况进行相乘后，即可得出所有可能组合的结果。其中各项系数所对应的指数值即为可实现的不同重量数值。

观察其乘积结果如下：
= 1