TSP问题的线性规划算法

TSP问题的线性规划算法研究

• 算法核心理念
  • 算法的适用范围
  • 示例1（无向连通图）

算法思想解析

针对一个完全图G=(V,E)，其TSP问题可以通过以下等效的线性规划模型进行求解：

目标函数：\min \ \sum_{i,j}d_{ij}x_{ij}，其中d_{ij}表示从顶点i到顶点j的边权值，而x_{ij}\in \{0,1\}是一个逻辑变量，用于指示从顶点i到顶点j的边是否被包含在旅行路径中。当x_{ij}=0时，表示该边未被选中；当x_{ij}=1时，则表示该边已被选中。

约束条件1：
每个顶点必须恰好被访问一次，即矩阵X=(x_{ij})_{|V|\times |V|}的每一行和每一列都恰好包含一个1，其余元素均为0。具体表达为：
\sum_{i=1,\ i \neq j}^n x_{ij}=1,\ j=1,\cdots |V|
\sum_{j=1,\ j\neq i}^n x_{ij}=1,\ i=1,\cdots |V|

约束条件2：
为了防止出现相互独立的子环（在TSP问题中要求旅行者一次性遍历图G中的所有顶点），引入与顶点数相同的实数变量u_1,u_2,\cdots ,u_{|V|}\in \mathbb{R}，并满足以下不等式约束：