微分方程组

1. 微分方程组

1.1 一阶微分方程组

关键关联：特征向量构成了线性代数与微分方程之间的核心桥梁，具体表现为线性代数中 \lambda^k 的形式在微分方程中被转换为 e^{\lambda t} 的表达方式。

针对一阶微分方程组的求解过程如下：

\begin{cases} x'(t)=ax(t)+by(t)\\ y'(t)=cx(t)+dy(t)\\ \end{cases}\\ ~\\ \begin{bmatrix}x'(t)\\ y'(t)\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x(t)\\ y(t)\end{bmatrix}\\ ~\\ \frac{d}{dt}\vec{u}(t)=A\vec{u}(t)\\ ~\\ \frac{d\vec{u}}{dt}=A\vec{u}

若能够确定矩阵 A 的特征值 \lambda，则可显著简化运算过程。通过将 \vec{u}=e^{\lambda t}\vec{x} 代入上述等式右侧，得到：

A\vec{u}=Ae^{\lambda t}\vec{x}

而在左侧，则有：

$\frac{d\vec{u}}{dt}=\frac{d}{dt}(e^{\lamb