幂级数理论的收敛性

解析函数的幂级数理论【无穷级数收敛性】

• 级数收敛性
  • 收敛性的判定

作为分析函数的一种关键表现方式，无穷级数在函数研究中占据着重要地位，其中幂级数尤为突出。众多基础函数与特殊函数均通过幂级数的形式加以定义与表达。

级数收敛性分析

设有一个复数级数
\sum_{n=0}^{\infty} u_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots
若其部分和
S_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}
所组成的序列 \left\{S_{n}\right\} 具有收敛性，则称该级数 \sum u_{n} 收敛，此时序列 \left\{S_{n}\right\} 的极限值 S=\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n} 被定义为级数 \sum u_{n} 的和；反之，若序列 \left\{S_{n}\right\} 不具备收敛性，则称该级数 \sum u_{n} 为发散的。对于复数项级数\sum_{k=0}^{\infty} f_{k}，可将其分解为两个实数项级数之和。
$\sum_{k=0}^{\infty} f_{k}=\sum_{k=0}^{\infty} u_{k}+i \sum_{k=0}^{\infty} v_{k}\st