拉格朗日力学

拉格朗日力学

• 广义坐标与位形空间

  • 变分原理

  • 拉格朗日量的特性

  • 自由质点对应的拉格朗日函数

  • 质点系统的拉格朗日函数

  • • 封闭质点系统
    • 非封闭质点系统

  • 守恒定律

  • • 能量

    • 动量

    • • 封闭系统
      • 非封闭系统

    • 角动量

广义坐标与位形空间解析

一个N维系统拥有N个相互独立的广义坐标，每一个坐标组(q^1, q^2, \cdots, q^N)都对应系统的一种特定位形(configuration)，因此广义坐标也被称为位形变量。所有可能存在的位形构成的集合被定义为系统的位形空间，其本身是一个N维流形。系统随时间t的变化过程，即广义坐标q^i的变化，可以在位形空间中表示为以t为参数的一条曲线\eta(t)，该曲线的参数表达式为q^i = q^i(t)。这条曲线的切矢量反映了系统的演化速率，其对应的坐标分量\dot q^i(t) \equiv \frac{dq^i(t)}{dt}通常被称为广义速度。若设定初始时刻t_0对应的位形为Q_0 \equiv \eta(t_0)，以及终了时刻t_1 > t_0对应的位形为$Q_1 \equiv \eta(t_1