素数无限多的不同证明方法汇总

定理：素数的个数是无穷的

• 方法一
  • 方法二
  • 方法三
  • 方法四
  • 方法五：验证其充分性条件 -- 存在无限数量的素数p，使得p\equiv 1\text{ }\bmod 4。

法一

证明
假设素数的数量为有限，共计n个，依次记作{{p}_{1}},{{p}_{2}},\cdots ,{{p}_{n}}。构造一个数P={{p}_{1}}{{p}_{2}}\cdots {{p}_{n}}+1\left( >1 \right)。
依据算术基本定理，P可以被分解为若干素数的乘积，这意味着必然存在某个k\in \left\{ 1,2,\cdots ,n \right\}，使得{{p}_{k}}能够整除P。
考虑到以下两个条件：
$\left{ \begin{aligned} & {{p}{k}} \text{ 能够整除 } P = {{p}{1}}{{p}{2}}\cdots {{p}{n}}+1 \ & {{p}{k}} \text{ 能够整除 } {{p}{1}}{{p}{2}}\cdots {{p}{n}} \ \end{aligned} \right.\text{ }\Rightarrow \text{ }{{p}_{k}} \tex