MIT 线性代数笔记 11 矩阵空间 秩1矩阵 小世界图

MIT 公开课：Gilbert Strang《线性代数》课程笔记（汇总）

Lecture 11: Matrix spaces; rank 1; small world graphs
课程 11：矩阵空间、秩1矩阵、小世界图

矩阵空间

• 所有 n \times n 维矩阵所组成的线性空间被称作矩阵空间，记为 \mathbb{R}^{n \times n}.

• 若将 M 定义为所有 3 \times 3 矩阵构成的集合，则由对称矩阵组成的集合 S 和由上三角矩阵构成的集合 U 均为该集合的子集，显然这两个子集的交集同样是该集合的一个子集。实际上，两者的交集即是由所有对角矩阵构成的空间。然而，S \cup U 并不满足线性空间的要求，因为其在加法运算下不具备封闭性。
  定义 S+U=\{\alpha + \beta | \alpha \in S, \beta \in U \}，显然 S+U 是该集合的一个子集，并且满足 S+U= M.

• \text{dim} M = 9, \text{dim} S = 6, \text{dim} (S+U) = 9, \text{dim} (S \cap U) = 3, 因此

这正是维数公式。

秩1矩阵