Properties and characteristics of the Discrete Fourier Transform (DFT)

DFT性质

线性

DFT[ax_1(n)+bx_2(n)]=a\cdot DFT[x_1(n)]+b\cdot DFT[x_2(n)]

圆周位移

说到圆周位移，则必须掌握DFS的概念及其与DFT之间的关系。其中DFS（离散傅里叶级数）主要应用于分析周期序列的频域特性；而对于一个周期长度为N的离散时间序列而言，在这种情况下其DFS将包含N个独立的基本频率分量。相比之下,DFT则是通过选取其主值区间来进行计算的一种方法;因此可以看出,DFT实际上具有隐含周期性特点;即使在取样超出该区间范围时;依然可以通过某种方式恢复对应的函数值信息。

DFS[\tilde{x}(n+m)]=e^{j\frac{2\pi}{N}mk} \tilde{X}(k)

即为：经过对基本周期实施m点的位移操作后，在频率响应中仅存在一个e^{j(\frac{2\pi}{N}k)}m的线性平移现象，并不会影响其幅频特性。

证明过程如下:
基于以下条件：

\tilde{X}(k)=\sum_{n=0}^{N-1} \tilde{x}(n)e^{j\frac{2\pi}{N}nk}

对于序列\tilde{x}(n+m)而言：

\sum_{n=0}^{N-1} \tilde{x}(n+m)e^{j\frac{2\pi}{N}nk}

令$i = n