判定两个圆柱体是否有交集

问题

观察到有用户提出相关疑问后，我撰写了一份针对该问题的有效解决方案理论准备。随后将简要说明如何借助它工具来判定两个圆柱体之间是否存在交集。

解法

问题中所涉及的圆柱体假设存在中轴线 l_i，该中轴线可通过固定点 X_i=(a_i,b_i,c_i)^T 与方向向量 W_i=(w_1^i,w_2^i,w_3^i)^T 进行描述。投影矩阵 T_i 以及 P^* 的计算方法均参照 这里的理论准备。

设定大圆柱的半径为 R，小圆柱的半径为 r。

针对两个圆柱是否发生相交的判断方法如下：
1. 当两个圆柱的中轴线相互平行时，只需评估其轴线间的距离与两者半径之和之间的关系，并结合两圆柱在轴线方向上的区间是否存在重叠情况（从而转化为较为简单的单维相交判断问题）；
2. 在其余情形下，首先确定两条中轴线之间的公垂线段的中点，并计算该点分别到大小圆柱中轴线的距离值 d=d_1=d_2：
3.
若该点到大圆柱中轴线的距离 d>R（或满足 2d > R + r），则可以明确判定两圆柱之间无交集；

若满足条件 2d \leq R + r，同时在大小两圆柱各自的两个定向底面之间（由两个底面所在的定向平面所界定），则可判定两圆柱发生相交；

若该点到大圆柱中轴线的距离满足 $d \leq