p(x)几乎处处成立于E当且仅当其补集是零测集

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• 几乎处处成立的定义
  • 命题p(x)在集合E中几乎处处为真 \Longleftrightarrow 所有使得p(x)不成立的点x构成的集合是零测集
  • • \left( \Longleftarrow \right)方向
    • \left( \Longrightarrow \right)方向

几乎处处成立的定义解析

当某一性质（命题）p在点集E中的所有点上均有定义，并且存在一个零测度的子集{{E}_{0}}\subset E，使得除去{{E}_{0}}之外的E\backslash {{E}_{0}}中所有点均满足该命题时，我们称该命题p在集合E上几乎处处成立。这种表述可写作p\left( x \right) a. e. 于E，或表示为p\left( x \right)，a. e. x\in E"。其中，“a. e.”是英文“almost everywhere”的缩写形式，用于描述在除一个零测度集合外的所有点上成立的性质。

几乎处处成立的等价条件

\left( \Longleftarrow \right)方向

记
${{E}_{0}}:=\left{ x\in E:\text{ }p\left( x \right)不成