实变函数论1-5-1. 定理1：每个无限集合中都存在一个可列子集；其中最小的基数属于可列集

若一个集合属于可数集合范畴，则其为无限集合，那么在所有无限集合中，它究竟占据着怎样的位置呢？

定理1

每一个无限集合必定至少存在一个可数的子集（即可列集合）。

证明
假设 M 是一个无限集合，由于 M \neq \varnothing，因此总可以从 M 中选取一个元素，记作 e_1。鉴于 M 是无限集合，可知 M \backslash \left\{ e_1 \right\} \neq \varnothing，从而可以再从该集合中选取另一个元素，记作 e_2。显然有 e_2 \in M 且满足 e_1 \neq e_2。若已从 M 中选取了 n 个互不相同的元素，即为 e_1, e_2, \cdots, e_n，由于集合 M 的无限性，则有 M \backslash \left\{ e_1, e_2, \cdots, e_n \right\} \neq \varnothing。因此可以从该剩余部分中再选取一个新的元素，记作 e_{n+1}。显然地，此元素属于集合 M 并且与之前选取的所有元素均不相同。通过数学归纳法的推理过程，我们能够确定在集合 M 中构造出一个无限子集 \left\{ e_1, e_2, e_3, \cdots, e_n, \cdots \right\}，该子集显然是