复变函数论1-1-复数4-1-2：德·摩根公式(cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ由复数乘幂推导得出

一、复数乘幂运算解析

【将乘积形式作为特殊情形加以分析，我们关注非零复数 z 的正整数次幂 z^{n}，其本质为 n 个相同因子的相乘。令 z=r \mathrm{e}^{i \theta}，则

z^{n}=r^{n} \mathrm{e}^{\mathrm{i} n \theta}\xlongequal[将n \theta视为一个整体]{将r^{n}视为一个整体}r^{n}(\cos n \theta+\mathrm{i} \sin n \theta),

由此可得

\left|z^{n}\right|=|z|^{n},
\operatorname{Arg} z^{n}=n \operatorname{Arg} z.

鉴于：

z^{n}=(r \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta})^n=r^n(\cosθ+\mathrm{i}\sinθ)^n

当 r=1 时，通过推导得出：棣莫弗(De Moivre)公式

$(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta)