统计学习系列多元线性回归模型（四）——区间估计（第二部分）

文章结构概述

• 1. 前文回顾

  • 2. β 的区间估计

  • • 2.1 t统计量的构造
    • 2.2 估计区间

  • 3. σ 的区间估计

  • • 3.1 卡方统计量的构造
    • 3.2 估计区间

  • 4. y 的区间估计

  • • 4.1 t统计量的构造
    • 4.2 估计区间

  • 5. 总结

  • • 写在最后

前文回顾与研究基础

在前两篇文献中，我们分别推导并列出了模型中最小二乘估计量 β ^OLS 以及 σ ^OLS 的数学表达形式：
\bm{\hat\beta}_{OLS} = ( \bm{X}^T \bm{X} )^{-1} \bm{X}^T \bm{y}

\bm{\hat \sigma} _{OLS} = \sqrt{ \frac {1 } {N-p-1} ( \bm{y} - \bm{\hat{y}} )^T ( \bm{y} - \bm{\hat{y}} ) }

同时，也提供了模型拟合值 y ^ 的估计表达式：
$\bm{\hat{y}} = \bm{X} \bm{\hat\beta}_{OLS} = \bm{X} ( \bm{X}^T \bm{X} )^{-1} \bm{X}^T \b