单调有界序列证明这个定理

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单调有界定理：任何单调有界数列必有极限

$\textcolor{darkred}{确界定理：非空有上(下)界数集，必有极限}$

$\textcolor{darkred}{证}$ ：
我们不妨证明非空有上界的数集 $S$ 必有上确界

$(1)$ 寻求一个实数值作为非空有上界的集合 $S$ 的上确界，并基于此构建一个序列使得其极限即为此实数值。

选取性质 $p$ : 不小于数集 $S$ 中的任一数的有理数

按照具有性质 $p$ 的所有有理数排列成一个序列 $\{r_n\}$ ；然后定义一个新的序列 $\{{x}_{n}\}$ 为每个 $n$ 对应的 $r_1$ 到 $r_n$ 的最大值；由此可得新序列 $\{{x}_{n}\}$ 是一个单调递增且有上界的序列；

$(2)$ 由单调有界定理得, $\zeta=\lim _{n \rightarrow \infty} x _n$ ，且对任意的自然数 ${n}$ 有

${r}_{{n}} \leqslant {x} _{n} \leqslant \zeta$

$(3)$ $\zeta$ 是数集 $S$ 的上确界. 用 $\textcolor{darkred}{反证法}$ ，

$1^{\circ}$ 若存在属于集合S的元素 $x_{0}$ 满足 $x_{0} > ζ$ 时，则令$\varep

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