外微分谈

外微分概念解析

• • 外微分的定义
    • Hodge对偶关系
    • 梯度、旋度以及散度的概念

外微分定义解析

在多重积分的计算过程中，我们期望换元法依然具有适用性。例如，令x = x(u, v)、y = y(u, v)，则二重积分的换元公式可表示为
\iint f(x, y) dxdy = \iint f(x, y) |J(u, v)| dudv
其中
J(u, v) = \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} &\frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} &\frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}
即雅可比行列式。然而，这一过程并不具备直观性。若我们设定dudu = dvdv = 0、dudv = -dvdu，则上述表达式仍可通过换元方法自然推导得出，因为有
dx = \frac{\partial x}{\partial u}du + \frac{\partial x}{\partial v}dv、$dy = \frac{\parti