《实变函数简明教程》第P63页指出：可测集合上的连续函数必然是可测的。

《实变函数简明教程》，P63，可测集上的连续函数一定可测

• 待研究的问题：源自第63页
  • 分析思路
  • 所涉及的重要引理
  • 在第34页提出的定理1.25
    • 在第26页所述的定理1.17
    • 在第52页给出的推论
    • 第49页中提到的定理2.2（i）
    • 在第59页定义的定义3.1

待分析命题：出自P63

可测集上的连续函数一定可测。

分析过程

设E为一可测集，在E上定义了一个连续函数f。根据课本P34中的定理1.25可知：对于任意实数a值，则存在一个开集{{G}_{a}}\subset {{\mathbb{R}}^{n}}满足
f^{-1}((a,+\infty)) = {{G}_{a}} \cap E,
其中{{G}_{a}}可表示为
{{G}_{a}}=\bigcup_{x\in E} B(x,\delta(x,a)).
由于单个开球b(x,\delta(x,a))本身即为开集，并依据课本P26中的定理1.17可知：任意多个开集的并仍然是开集；因此{{G}_{a}}作为这些开球的并自然也是一个开集。由此可得： {{G}{a}}是开集. 进一步地，在课本P52中提到：任何开集都是可测的；因此有： {{G}{a}}是可测集.