赋范线性空间7.2中定义了向量空间及其相关性质：设V为一个向量空间（即线性空间），W是一个极大无关组（即一组线性无关且生成整个向量空间的子集），则W中的元素个数称为V的维度（dimension），记作dim V；此时W也被称为V的一个基底（basis）。特别地，在有限维度的空间中其维度不依赖于所选取的具体基底

在广泛存在的多个数学领域以及实际应用场景中，在工程学、物理学等学科研究中也会频繁涉及的各种空间实例中都存在着一种共同的基本特性：即不仅需要具备极限运算的能力（如收敛性分析），同时还需要满足具有'加法'和'数乘'这两种基本代数结构的特点。

定义1

设 X 为一个非空集合，在其上分别定义了加法运算和标量乘积（即实数或复数与该集合中的元素除外），这些运算是封闭于该集合中的。”

我们讨论的是加法构成的交换群系统。定义为：对于每一个属于集合X的元素 x, y ∈X ，都存在一个唯一的元素 u ∈X 满足条件。其中 u = x + y 被定义为其和；同时满足以下条件

1. x+y=y+x;

2. 对于任意的x, y, z ∈ X, 都有(x+y)+z=x+(y+z);

3. 在集合X中存在唯一的元素\theta, 满足对所有x ∈ X, 都有x+θ=x, 我们称\boldsymbol{θ}为集合X中的零元;

4. 对于集合X中的每一个元素x, 存在唯一的x' ∈ X, 满足x+x'=θ, 我们称x'为x的负元，并记作−x.$

对于每一个x \in X,以及任何实数值（或复数值）a,都存在一个对应的元素u,它也属于集合X,即u = a x,我们称这个乘法运算结果为$a