模m的n次剩余与非剩余若干练习

索引

• 传送门
  • 例题1 同余方程{{x}^{6}}\equiv 5\text{ }\bmod 17是否存在解？若存在，试求出其解。
  • 例题2 同余方程{{x}^{8}}\equiv 23\text{ }\bmod 41是否存在解？若存在，试求出其解。
  • 例题3 同余方程{{x}^{12}}\equiv 37\text{ }\bmod 41是否存在解？若存在，试求出其解。
  • 例题4 确定模41下所有4次剩余。
  • 例题5 在模41的既约剩余系中，找出指数为10的数。
  • 例题6 验证10是模17及模257(素数)的原根，并据此证明将\frac{1}{17},\frac{1}{257}转换为循环小数时，循环节的长度分别为16和256。

传送门

有关该理论的详细阐述可参考博文《数论之模m的n次剩余与非剩余 理论基础》。

同余方程解的存在性与求解

解 由于
${{5}^{\frac{\varphi \left( 17 \right)}{\gcd \left( 6,\varphi \left( 17 \right) \right)}}}={{5}^{\frac{16}{\gcd \left( 6,16 \right)}}}={{5}^{\frac{