基于图嵌入的降维算法——边界Fisher分析（BFA）

0、前言

降维技术广泛应用于计算机视觉、模式识别以及机器学习等多个领域，是一种常见的数据处理与分析手段。在诸如人脸识别和数据可视化等应用场景中，通常需要从高维数据中提取具有代表性的低维特征，从而提升数据分析与处理的效率。

降维方法主要可以划分为线性与非线性两大类。其中，线性降维方法的典型代表包括主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）和线性判别分析（Linear Discriminant Analysis, LDA）。PCA 属于一种无监督学习方法，其核心思想是寻找一组正交基向量，将原始高维数据投影至低维空间，并确保投影后的数据具有最大的方差值，从而尽可能保留原始数据中的关键信息。LDA 是一种有监督的降维方式，其目标在于确定最优的投影方向，使得类间散度矩阵与类内散度矩阵之间的比值达到最大值，进而实现同类样本之间的紧密聚集以及不同类样本之间的有效分离。

然而，上述两种算法主要关注于保留原始高维数据的整体欧氏结构，并无法揭示其局部流形特性。因此，在实际应用中逐渐涌现出一系列基于流形学习理论的非线性降维方法。

代表性算法包括邻域保持嵌入（Neighborhood Preserving Embedding, NPE）和局部保留投影（Locality Preserving Projection, LPP）。这些算法通过构建线性映射