实变函数论中，在集合运算部分讨论了8：集合的直积。若 A_i (i=1,…,n) 是集合，则 A = {(x₁,x₂,…,x_n): x_i ∈ A_i, i=1,…,n} 称为它们的直积，并记作 ∏_{i=1}^n A_i = A₁ × A₂ × … × A_n

考虑有限个集合：

设每个 A_i 都是一个集合，则所有元素 (x_1, x_2, \dots, x_n) 构成的集合 A 被称为这些集合 A_i 的直积，并通常用符号 \prod_{i=1}^{n} A_i 来表示。

\prod _ { i = 1 } ^ { n } A _ { i } 或 A _ { 1 } \times A _ { 2 } \times \cdots \times A _ { n }.

考虑自然数那么多个集合：

无限乘积\prod_{i=1}^{\infty}A_i等于各集合的笛卡尔积，并由所有由元素(x_1,x_2,\cdots)组成的集合构成（其中每个x_i属于对应的A_i），即\left\{\left(x_1,x_2,\cdots\right):x_i\in A_i, i=1,2,\cdots\right\}\right.

若 A _ { i } = A ( i = 1 , 2 , \cdots ), 则

\prod _ { i = 1 } ^ { n } A _ { i } = A ^ { n } \prod _ { i = 1 } ^ { \infty } A _ { i } = A ^ { \infty }

![在这里插入图片描述](https://cdl