高代(五)—二元一次方程组的标准形式

§ 2 标 准 形
现在来讨论用非退化的线性替换化简二次型的问题.
可以认为,二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型
d_{1} x_{1}^{2}+d_{2} x_{2}^{2}+\cdots+d_{n} x_{n}^{2} \text {. }
这一节的主要结果是
定理 1 数域 P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和
(1)的形式.
证明 下面的证明实际上是一个具体地把二次型化成平方和的方法,
这就是中学里学过的"配方法".
我们对变量的个数 n 作归纳法.
对于 n=1, 二次型就是
f\left(x_{1}\right)=a_{11} x_{1}^{2},
这已经是平方和了. 现假定对 n-1 元的二次型,定理的结论成立. 再设
f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}, \quad a_{i j}=a_{j} .
分三种情形来讨论:
1. a_{i i}(i=1,2, \cdots, n) 中至少有一个不为零, 例如
a_{1 \mid} \neq 0. 这时
$\begin{aligned} f\l