primitive roots' existence related theorems (一)

索引

• 引理1 设a为奇数, k\in {{\mathbb{Z}}_{\ge 3}}, 则有{{a}^{{{2}^{k-2}}}}\equiv 1\text{ }\bmod {{2}^{k}}.
  • 推论2 对任意k\in {{\mathbb{Z}}_{\ge 3}}, {{2}^{k}}必然不存在原根.
  • 引理3 若p为奇素数, k\in {{\mathbb{Z}}_{\ge 1}}. 假设r是模{{p}^{k+1}}的原根, 那么r同样也是模{{p}^{k}}的原根.
  • 推论4 若p为奇素数, k\in {{\mathbb{Z}}_{\ge 1}}. 假如r是模{{p}^{k}}的原根, 则r亦为模p的原根.
  • 定理5 若p是一个奇素数, 存在原根r, 则{{p}^{2}}的原根集合可表示为\left\{ \begin{aligned} & r,\text{ }{ {r}^{p-1}}\cancel{\equiv }1\text{ }\bmod { {p}^{2}}, \\ & r+p,\text{ }{ {r}^{p-1}}\equiv 1\text{ }\bmod { {p}^{2}}. \\ \end{aligned} \right.
  • 定理6