数论中的指数函数与生成元

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符号定义
- 定义1（补充说明见定理12）设 $m\in {{\mathbb{Z}}_{>1}}$ , $a\in \mathbb{Z}$ , $\gcd \left( a,m \right)=1$ , 记 $\gamma \left( a, m \right) =\min \left\{ x\in {{\mathbb{Z}}_{>0}}:{{a}^{x}}\equiv 1\text{ }\bmod m \right\}.$ 称 $\gamma$ 为 $a$ 对模 $m$ 的指数(order/period). 若 $\gamma =\varphi \left( m \right)$ , 则称 $a$ 为模 $m$ 的一个原根(primitive root of unity).
- 命题2 定义1中 $a$ 对模 $m$ 的指数 $\gamma$ 一定存在，且满足不等式关系： $0 < \gamma \leqslant \varphi(m)$ .
- 例子3
  (1) $2$ 对模 $7$ 的指数是3; $2$ 不是模7的原根.
  (2) $2$ 对模11的指数是10; $2$ 是模11的原根.
- 例子4 $5$ 是模3、6、9、18的原根.
- 定理5 设 $m\in {{\mathbb{Z}}_{>1}}$ , $a\in \mathbb{Z}$ , $\gcd(a,m)=1$ . 假设 $a$ 对

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