n阶反对称行列式恒为零

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• 问题
• 证明
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问题

令\left| A \right|为n阶行列式，则若\left| A \right|中满足第(i,j)元素a_{ij}与第(j,i)元素a_{ji}之间存在关系式a_{ij} = -a_{ji}时，则定义该行列式\left| A \right|为反称行列式。（证明）当n为奇数时，则反称行列式的值必为零；这是因为反称矩阵具有主对角线全为零的特点，并且满足a_{ij} = -a_{ji}这一性质；在此情况下矩阵必定存在两行完全互反数值（即其中一行等于另一行乘以-1），从而使得其对应的行列式的展开结果必定相互抵消而最终归零。

证明

充分运用行列式的反交换特性来分析其转置性质。考虑一个n阶行列式

\left| A \right|=\left| \begin{matrix} { {a}_{11}} & { {a}_{12}} & \cdots & { {a}_{1n}} \\ { {a}_{21}} & { {a}_{22}} & \cdots & { {a}_{2n}} \\ \vdots & \vdots & {} & \vdots \\ { {a}_{n1}} & { {a}_{n2}} & \cdots & { {a}_{nn}} \\