泛函分析基础7-1-度量空间2-2: 收敛点列及其极限唯一性、集合直径δ及其有界性(δ<∞)、收敛点列一定是有界的、度量空间中闭集 泛函分析基础7-1-度量空间2-2: 收敛点列及其极限唯一性、集合直径δ及其有界性(δ<∞)、收敛点列一定是有界的、度量空间中闭集

设 ( X , d ) 为度量空间，其中 d 表示距离，定义

U \left( x _ { 0 } , \varepsilon \right) = \left\{ x \in X : d \left( x , x _ { 0 } \right) < \varepsilon \right\}

为以 x _ { 0 } 为中心、\varepsilon 为半径的开球，也被称为 x _ { 0 } 的 ε-邻域。

基于此，参照第二章第2节的内容，可以在距离空间中引入点集的内点、外点、边界点及聚点、导集、闭包和开集等相关概念。

设 \left\{ x _ { n } \right\} 是度量空间 ( X , d ) 中的一个点列，若存在某个 x \in X ，使得

\lim _ { n \rightarrow \infty } d \left( x _ { n } , x \right) = 0 ,

则称该点列 \left\{ x _ { n } \right\} 在 ( X , d ) 中是收敛的 ，并且 x 被称为该点列的极限。

类似 \mathbf { R } ^ { n } 的情形，在度量空间中也可以证明收敛点列的极限具有唯一性。

设 M 是度量空间 ( X , d ) 中的