利用Hensel引理解决高次同余式方程的一些例题

索引

• 引言
  • 例题1：解三次同余方程f\left( x \right)={{x}^{3}}+{{x}^{2}}+2x+26\equiv 0\text{ }\bmod 343
  • 例题2：解二次同余方程f(x)={{x}^{2}}+x+34\equiv 0\text{ }\bmod 81
  • 例题3：解三次同余方程f\left( x \right)=5{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1\equiv 0\text{ }\bmod 64
  • 例题4：解四次同余方程f\left( x \right)={{x}^{4}}+2x+36\equiv 0\text{ }\bmod 4375

前言

有关Hensel引理 的详细阐述，可参阅博文《高次同余式的解数和解法》。

三次同余式求解实例

解
f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2x+2,\text{ }343={{7}^{3}}

寻找满足f\left( x \right)\equiv 0\text{ }\bmod 7的解。
采用穷举法进行分析，具体过程如下。
$\begin{matrix} x\text{ }\bmod 7 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 &