数学分析(一)-实数集与函数4-具有某些特性的函数2：对于定义域D上的严格单调递增或递减的单值函数y=f(x)，则该函数必然存在反函数f⁻¹，并且其反函数在其值域上也保持相同的单调性

定义 3

设 f 为定义在 D 上的函数. 若对任何 x_{1}, x_{2} \in D, 当 x_{1} 时, 总有

• (i) 若 f(x_{1}) \leqslant f(x_{2}) 成立，则称函数 f 在定义域 D 上呈现（渐增）特性；当满足严格不等式 f(x_{1}) 时，则称该函数在 D 上实现严格的（渐增）特性；
  • (ii) 若 f(x_{1}) \geqslant f(x_{2}) 成立，则称函数 f 在定义域 D 上表现出（渐减）特性；当满足严格不等式 f(x_{1})>f(x_{2}) 时，则称该函数在 D 上实现严格的（渐减）特性；

所有递增或递减的单向变化关系都被称为单调函数。而那些既不减少也不增加的单向变化关系则被定义为严格单调函数。

例 3 函数 y=x^{3} 在 \mathbf{R} 上是严格增的. 因为对任何 x_{1}, x_{2} \in \mathbf{R}, 当 x_{1} 时, 总有

$x_{2}^{3}-x_{1}{3}=\left(x_{2}-x_{1}\right)\left[\left(x_{2}+\frac{x_{1}}{2}\right)^{2}+\frac{3