预条件共轭梯度下降法及其实现分析

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简介

共轭梯度法属于用于求解对称正定线性方程组的迭代算法。最初该方法被设计为直接求解方式，然而在引入迭代计算并结合复杂的预处理技术后，其应用范围反而更加广泛，受到更多青睐。

我们针对求解

将问题转化为寻找phi(x)最小值的过程

A所具备的SPD特性在本质上保障了其自身的不可替代性。

将原本的线性求解问题转换为寻找最小值的问题之后，我们尝试采用线性求解的手段进行处理。首先，我们需要确定一个初始点，而不同的方法在选择方向以及步长方面存在差异。

其中，局部梯度经过计算即为

，这同样可被称作系统残差。

相应的步长如下

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