线性代数 第一章第八节 SVD 分解的证明

矩阵的奇异值分解（SVD分解）

• 0.前期工作
  • 1.奇异值概念
  • 2.SVD分解方法
  • 3.SVD分解的理论推导
  • 4.实例解析

0.研究准备阶段

为阐述矩阵的奇异值及其分解过程，需借助以下结论：
（1）设A\in C_r^{m\times n}(r>0)，则A^HA为Hermite矩阵，（若矩阵A中不包含复数元素，则有A^H=A^T），且其所有特征值均为非负实数；
（2）矩阵A^HA与矩阵A的秩相等，即满足rank\left(A^HA\right)=rank\left(A\right)；
（3）若矩阵A\in C^{m\times n}，则矩阵A=O当且仅当其伴随矩阵满足A^HA=O.

证明：
（1）假设存在非零向量x, 使得满足等式： A^TAx=\lambda x(x\neq0), 则通过计算可得 x^TA^TAx=\lambda x^Tx, 即 \left\|Ax\right\|^2=\lambda \left\|x\right\|^2, 进而得出 \lambda \geqslant 0. 同理可推知，矩阵 A^TA 的所有特征值均为非负实数.
（2）要证明方程组 A^HAx=0(1) 与 Ax=0(2) 具有相同的