柱-贝塞尔函数

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柱函数的提出

研究具有固定边界的圆膜振动问题时, 可转化为一个定解问题

在 $k^2=\lambda-\mu \neq 0$ 时的径向方程为bessel方程。

令 $kr=x$ ， $R(r)=y(x)$ ， $x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\left(x^{2}-v^{2}\right) y=0$ ， $v$ 阶Bessel方程

$y^{\prime \prime}+\frac{1}{x} y^{\prime}+\left(1-\frac{v^{2}}{x^{2}}\right) y=0$

称 $x_0$ 为该方程的正则奇点位置，在进行级数展开时避免出现异常的小数项影响，则有解的形式为 $y(x)=x^\rho \sum_{k=0}^{\infty }c_k(x-x_0)^k$

$\rho$ 为指标，求 $\rho$ 的方程–指标方程

将 $y=\sum^{\infty}_{k=0}c_kx^{k+\rho}$ 带入Bessel 方程并化简得到

其中包含方程组：

\left\{ \begin{array}{l} (\rho^2 - \nu^2)c_0

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