泛函分析基础(7,1)-(4,2)-1：(泛函分析基础) 完备的(度量空间) 若(在)(泛函分析基础) 度量(X)(在) 中每个柯西(X)(在) 点列都(在) 收敛于(X)，则称(X)(为‘完备’) 的(泛函分析基础)(7,1)-(4,2)-1 度量空间；在一般(泛函分析基础) 度量(X)(在) 中，则有 (收敛)(点列)(⊂ )(柯西 )( 点 列 )( ⊂ )( 有 界 )( 点 列 )

柯西点列

令度量空间为 X=(X,d)；考虑其中的点列 \{x_n\}；对于每一个预先给定的正数 ε>0, 存在自然数 N=N(ε)，使得只要n和m都大于N时，则必定满足

d \left( x _ { n } , x _ { m } \right) < \varepsilon ,

则称 \left\{ x _ { n } \right\} 是 X中的柯西点列 或基本点列 。

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如果度量空间 (X, d) 中每一个柯西点列都在其自身中收敛，则称该度量空间是完备的度量空间

注意：这里要求在 X 中存在一点，使该柯西点列收敛到这一点。

基于完备度量空间的定义可知，在按照绝对值距离构成的空间中，并非全体有理数都是完整的度量空间；即n维欧氏空间\mathbf{R}^n是一个完整的度量空间。

在一般度量空间中：

• 柯西点列不一定收敛；
• 收敛点列都是柯西点列；

一般度量空间中，收敛点列、柯西点列、有界点列的包含关系图：

特别地，在极限定义中指出如果序列x_n趋于x（即$n