概率论与數理統計教程(四)-大數定律與中央極限定律 03: 大數定律

§ 4.3 大数定律
大数定律存在多种表现形式，以下将从最基础的伯努利大数定律开始，逐步展开对各类大数定律的介绍。
4.3.1 伯努利大数定律
设 S_{n} 表示在 n 次伯努利试验中事件 A 出现的次数，称 \frac{S_{n}}{n} 为事件 A 出现的频率。若一次试验中事件 A 发生的概率记为 p，则 S_{n} 服从二项分布 b(n, p)，因此频率 \frac{S_{n}}{n} 的数学期望与方差分别为：
E\left(\frac{S_{n}}{n}\right)=p, \quad \operatorname{Var}\left(\frac{S_{n}}{n}\right)=\frac{p(1-p)}{n} .
接下来我们探讨当 n \rightarrow \infty 时，频率 \frac{S_{n}}{n} 与概率 p 的绝对偏差 \left|\frac{S_{n}}{n}-p\right| 所表现出的极限状态。根据数学分析中的数列极限概念，若 \left\{S_{n}\right\} 是一个序列，则序列 \left\{\frac{S_{n}}{n}\right\} 的极限为 p 意味着对于任意给定的正实数 \varepsilon>0，当 n 足够大时，绝对偏差