《实变函数简明教程》第14题（利用勒贝格控制收敛定理求函数列勒贝格积分的极限）

《简明实变函数教材》，Page 115, 第十四题（采用 Lebesgue 控制收敛定理计算函数列 的 Lebegue 积分极限）

• P97，定理4.15（Lebesgue控制收敛定理）
• 待解决问题
• 求解过程
• • 第1小问
  • 第2小问

P97，定理4.15（Lebesgue控制收敛定理）

考虑定义于欧几里得空间子集\mathbb{R}^n中的一个可测函数序列\{f_k\}，其中该序列几乎处处收敛于某个函数f(x)即\forall x∈E, \lim_{k→∞} f_k(x) = f(x)成立，并且存在一个非负可积函数F(x)使得对于所有x∈E, k=1,2,…, 均有\lvert f_k(x) \rvert ≤ F(x). 根据勒贝格控制收敛定理可知，在上述条件下：
（i）函数f(x)及其每一项f_k(x)均在区域E上可积；
（ii）极限\lim_{k→∞} ∫_E f_k(x) dx = ∫_E f(x) dx

待解决问题

求极限

1. 当k趋于无穷大时, 积分运算\int_{0}^{1}{\frac{\ln(k+x)}{k}\cdot e^{-x}\cdot \cos x dx}收敛于零。
2. 当k趋于无穷大时, 积分运算$\int_{0}