复 变 积 分 / 复 积 分

复变积分

• 复变积分
• Cauchy 定理
• Cauchy 积分公式
• Cauchy 积分公式的若干推论

复变积分

复变积分被称为复平面 \mathbb{C} 上的曲线积分。设路径 C 是从点 A 到点 B 的一条曲线，在其上每一点都有定义的函数f(z)。将路径C划分为n个区间，在第k个区间内任选一点\zeta_k（其中k=1,2,\dots,n），构造求和式

\sum_{k=1}^{n} f(\zeta_k)(z_k - z_{k-1}) = \sum_{k=1}^{n} f(\zeta_k)\Delta z_k

其中\Delta z_k = z_k - z_{k-1}表示第k个区间的长度。当分割无限精细时（即n \rightarrow \infty, \max|\Delta z_k| \rightarrow 0），如果上述求和式的极限存在，并且其值与选取的点\{\zeta_k\}无关，则称该极限值为函数f(z)沿路径C的复变函数积分类似于将二维向量场分解为两个标量场的过程

Cauchy 定理

注

对于上述等式\oint_{C_0} f(z) dz=\sum_{i=1}^n \oint_{C_i}f(z)dz，