实变函数论：定理3 设一列互不相交且基数均为 c 的集合，则其并集 UAₙ 的基数也为 c

定理3

设 A _ { 1 } , A _ { 2 } , \cdots , A _ { n } , \cdots 是一组彼此之间没有交集的集合，每个集合的基数均为 c，则 \bigcup _ { n = 1 } ^ { \infty } A _ { n } 的基数同样为 c。

证明
令 I _ { n } = [ n - 1 , n )，满足 I _ { n } \cap I _ { \mathrm { m } } = \varnothing ( m \neq n )，并且每个区间 I_n 的基数均为 c (n = 1, 2, \cdots)。因此可得 I_n 与 A_n 之间存在一一对应关系 (n = 1, 2, \cdots)，

由此可推知

\bigcup _ { n = 1 } ^ { \infty } A _ { n } \sim \bigcup _ { n = 1 } ^ { \infty } I _ { n } = [ 0 , \infty ) ,